Yazan : Şadi Evren ŞEKER
Keywords: Stochastic Random Variable Rasgele değişken Rasgele süreçler Bayes Estimation Markov Chain Queueing Theory Random walks Decision Theory Model Kalman Filtering Wiever Filtering Monte Carlo
|
Stochastic Process ( Stokastik Süreçler veya Rasgele Süreçler) Tanımı :
Rasgele çıktı üreten bir seri olay veya süreç
Bir olasılık dağılımıyla tanımlanabilen süreçler
Olasılık Dağılımı: Olasılıkların olaylara nasıl dağıldığ.
Değişkenlik : Variability , Bir sistem veya olayın birini izleyen gözlemlerde tümüyle aynı sonuç üretmemesi.
Örnek: Arabanın yakıt / km verisi için arabanın durumu, kullanılan yakıt, hava durumu, trafik şartları vs. etkileri bulunmaktadır, bu etkilerden izole bir modelde arabanın kilometre başına harcadığı yakıt değişkendir.
Örneğin konnektör kalınlığının dirence etkisini ölçen bir mühendisin aşağıdaki konnektör direnç verilerini aldığını düşünelim:
Kalınlık 3/32 inch: |
Kalınlık 1/8 inch |
12.6 |
13.14 |
12.9 |
13.9 |
13.4 |
14.0 |
12.3 |
13.5 |
.... |
.... |
Ortalama 13 pound dayanıklılığı olduğu anlaşıldı |
Ortalama 13.5 paund dayaniklılığı olduğu anlaşıldı |
X = m + e olarak hesaplanır. Burada m sabit değerken e rasgele bozunumdur.
Şeklindeki etkinin örnek kısmını konnektör, popülasyon kısmını ise müşteriye satılan bütün konnektörler oluşturmaktadır. Burada istatistiksel çıkarım kullanılmıştır.
Verilerin Toplanması:
Tarihsel yöntem : Geçmiş veriler incelenir
Gözlemsel : Hedefe yönelik deneyler tasarlanır
tasarlanmış olan denelerden bir kısmı sabit tutularak tekrarlanır ve bu yolla değişkenlerin sisteme etkileri ayrı ayrı incelenmiş olunur.
Örnek Uzay (Sample Space ) : Rasgele bir deneyin olan sonçlarının tamamının oluşturduğu küme.
S= R+ (örneğin konnektörün kalıklık uzayı)
S= { x | 10 < x < 11 } (kalınlığı 10 ile 11 arasında olan bir değişken)
S= { ince, orta, kalın } (3 ihtimalden birisi)
Örnek uzaylar, Discerete (ayrık) veya continous (sürekli) olabilirler.
2 adet konnektör olsaydı, örnek uzay S= R+ x R+ şeklinde gösterilecekti.
Event ( olay ) : Rastgele bir deneyin sonçlarının oluşturduğu örnek uzayın alt kümesidir.
De Morgan's Rule :
Permütasyon: S = { a, b, c} ise permütasyonu abc, acb, bac , bca , cab ,cba .... şeklinde olacaktır ve ihtimal sayısı P = n! Şeklinde hesaplanır.
Alt kümelerin permütasyonu : n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı :
Prn = n x (n-1) x (n-2) ... (n-r+1) = n! / (n-r)! olarak hesaplanır.
Örneğin 8 boşluğa 4 eleman (her eleman birbirinden farklı) kaç farklı şekilde yerleştirilebilir.
P48 = 8! / 4! = 1680
Benzer nesnelerin permütasyonu: n = n1+n2+n3+ .... nr olduğuna göre
P = n! / n1!n2!n3!...nr! Olarak hesaplanır.
Örnek: Bir metal yüzeye 2 delik (aynı) ve 2 tane de diş (aynı) açılacak
n= n1+n2 ise 2+2= 4 ve olasılık da P = 4! / 2!x2! = 6 olur
Kombinasyon :Sıra önemsizdir,
olarak
hesaplanır.
Örneğin 8 boşluğa 5 parça
(aynı) için olasılık,
= 56 olarak hesaplanır.
Rasgele Deney: Deneyin yapılmasından önce sonucu tahmin edilemeyen deneye denir.
Rasgele Değişken : Bir sagele deneyin herbir sonucuna karşılık gelen reel bir sayıdır.
Örneğin, örnek uzay s= { s1, s2, ... sn } olsun X(s) = x eşitliğini veren her değere rasgele değişken denir.
X'in uzayı reel sayıların bir kümesidir. { x : x= X(s= , s S)
Örneğin bir kafesten alınan farelerin cinsiyetine bakılan deneyde bu tanımlar aşağıdaki şekilde olur:
Rasgele Deney |
Olası Sonuçlar |
Örnek Uzay |
Rasgele Depişken |
Bir kafesten fare seçilip cinsiyetinin belirlenmesi |
Dişi veya Erkek |
S= {Dişi, Erkek} |
Bir X fonksiyonu tanımlayalım öyle ki X(D) = 0 ve X(E) = 1 olsun |
Örneğin Olayımız farenin sağlıklı olması olsun, buna göre : S= {D,E} , A= farenin sağlıklı olması. Buna göre çektiğimiz fare sağlılıysa olay oluşmuş olur. Yani deneyin belirli bir alt kümesi hedeflenmiş olur.
Zar örneğine bakılacak olursa, S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} olarak tanımlıdır ve olayımızı zarın tek gelmesi olarak alacak olursak, A= { 1, 3, 5} olarak tanımlamış oluruz. Bu durumda A , S'in bir alt kümesi olmuş olur. Örneğin zar atıldı ve 3 geldiyse olay olmuştur.
Örneğin, bir lotarya oyununda 3 haneli, rasgele bir sayı tutulacak buna göre S= {000,001,002, ... 999} olur ve örneğin tutulacak sayılar 121 211 ve 221 ise A={121, 211, 221} olarak verilmiş olur ve buna göre P(A) = 3/1000 olarak hesaplanır.
Bağıl frekans: İlk deneyde
kafeste fare seçilince cinsiyeti tahmin edilemez, çünkü
kafesteki farelerin oranı bilinmiyor dolayısıyla tahmin edilebilmesi
için olayın müteaddit defalar tekrarlanması gerekir. Buna
göre bağıl frekans formülü
ile hesaplanır. Burada n büyüdükçe olasılık
istikrarlı hale gelir.
Teori: Açıkça tanımlanmış aksiyomlardan mantık yolu ile geliştirilirler ve gerçek hayata uygulandığında işe yararlar.
Aksiyom: Doğruluğu kesin olarak kabul edilmiştir. Kendiliğinden aşikardır. Örneğin Bir şey hem var hem yok olamaz.
Olasılığın gerçek problemlere uygulanması:
1 Gözlem: Örneğin Hileli zar 1000 kere atılıyor ve 200 kere 5 geliyor. O halde 5 gelme olasılığı 2007 1000 dir. Eğer zar hileli değilse, 5 gelme olasılığı 1/6'dır.
Çıkarım: (Tümden gelim) Aksiyomlara dayalı olarak belirli olayların olasılığını çıkarmadır. Hileli olmayan zarda P(1) = P(2) = P(3) .. = P(6) = 1/6 olduğu bilinir.
Tahmin (kestirim) 1000 kere zar atıldığında kaç kere tek sayı geleceğinin tahmini ~500 dür.
Yukarıdaki 1. ve 3. adımlar tğme varım örnekleridir, 2. adım ise tümden gelimdir.
Olasılığın Tanımı : Olasılığın tanımına dair 3 ayrı yaklaşım bulunmaktadır. Bunlar Aksiyometrik tanım, Bağıl Frekans Tanımı ve Klasik Tanımdır. Bunların açıklamaları aşağıda verilmiştir:
Aksiyometric tanım 3 varsayıma dayanmaktadır bunlar:
P(S) = 1 , yani kesin olayın olasılığının 1 olması
0 <= P(A) <= 1 yani bir A olayının pozitif bir sayı alması
A ile B mutually exclusive ise
olarak
hesaplanır.
Basit frekans tanımı:
(n
sonsuza giderken olasılık istikrarlı hale gelip skalar sayı ile
bulunabilir) bu hipotez, gözlem ve tahmin adımlarında
kullanılabilir.
Klasik Tanım:
olarak
hesaplanır ve burada N olası sonuçların sayısı, NA ise A
olayının olası sonuçlarının sayısıdır. Gerçek deneyden
önce bu yöntemle olasılık kestirilebilir. Örneğin
Zarın tek gelmesi S= {1,2,..,6} , N=6 , NA=3 olur ve P(A) = 3/6
olarak önceden hesaplanabilir.
Klasik tanımın hatalı olabileceği durumlar:
Örneğin 2 kere zar atılıyor. A olayı, 2 zarın toplam 7 gelme olasılığı olsun. Klasik tanımda P(A) nasıl hesaplanır?
çözüm : S, zarların toplamları olsun yani S= {2,3,4,..12}, bu durumda N = 11 ve NA= 1 olduğuna göre P(A) = 1/11 olarak hesaplanır ancak yanlıştır.
Çözüm: S, zarların ikili olasılıkları olsun, yani S= {(1,1),(1,2),(1,3)...(6,6)} (burada 1,2 ile 2,1 aynı kabul edilmiştir) buna göre :N= 21 olur ve A={(3,4),(5,2),(6,1)} olduğuna göre NA=3 olur. Sonuç olasılığı P(A) = 3/21 olarak hesaplannır ancak bu sonuç da yanlıştır.
Çözüm: zarların 1 ve 2. zar olarak ayrılması S= {(1,1),(1,2),(2,1)...(6,6)}(burada 2. çözümden farklı olarak, zarlar ayrı kümelerde incelenmiş ve 1,2 ile 2,1 farklı olaylar olarak ele alınmıştır), buna göre N= 36 bulunur ve A= {(3,4),(5,2),(6,1),(4,3),(2,5),(1,6)}, ve P(A)= 6/36 = 1/6 olarak hesaplanır ve bu doğru sonuçtur.
Dolayısıyla Klasik tanımda değişikliğe gidilmiş ve “Bir olayın, olasılığı bütün olası sonuçların eşit olması koşuluyla sınırlandırılmıştır” buna göre yukarıdaki zar örneğinde,
çözümde toplam 2 gelmesi olasılığı (1,1) ike 4 gelmesi olasılığı (2,2) (3,1) (1,3) olmaktadır, buna göre 2 gelmen durum sayısı 1 iken 4 gelen durum sayısı 3 olmaktadır, ancak S kümesine 1'er eleman gibi yerleştirilmişlerdir, bu durumda olasılıkları eşit kabul edilmiştir oysaki eşit değildirler.
Çözümde (1,1) gelmesi ihtimali ancak iki zarında 1 gelmesi durumunda olurken (1,2) gelmesi 1. zarın 1 gelmesi ve 2. zarın 2 gelmesinde olabileceği gibi 1. zarın 2 gelmesi ve 2. zarında 1 gelmesi durumunda da olabilir, oysaki bu iki ayrı ihtimal S kümesinde tek bir ihtimal gibi yer almış ve (1,2) ihtimaliyle (1,1) ihtimaline aynı oran verilmiştir, oysaki değildir.
Çözümde bütün ihtimaller ortak oranlarda yer almış ve sonuç doğru çıkmıştır.
Örnek: Yeni doğan bebeğin cinsiyetinin tahmini. Kız / Erkek olabilir. Ancak ½ denilemez, olay, ailesinin geçmişi, bölgesel şartlara vs. bağlı olabilir.
Klasik yöntem için sıkıntılı olan bir diğer durum ise, sonsuz olasılık durumudur. (bkz. Mere Paradoxu)
Koşullu Olasılık (Conditional Probability):
Rasgele deneyimiz sadece B alt kümesinin elamanı olan sonuçlar ile ilgiliniyoruz. Burada S örnek uzay, B ise örnek uzayın bir alt kümesidir. Verilen tüm A olayı P(A|B) şeklinde gösterilir.
,
P(B) > 0 (verilen A olayının, B olmuşsa olma olasılığı)
Örnek, 20 tane lale soğanı arasından, 8 tanesi erken, 12 tanesi geç açacak ve 13 tanesi kırmızı ve 7 tanesi sarı olacak. Bu durumda ilave bilgilerle aşağıdaki tablo çıkarılabilir:
|
Erken |
Geç |
Toplam |
Kırmızı |
5 |
8 |
13 |
Sarı |
3 |
4 |
7 |
Toplam |
8 |
12 |
20 |
Erken açacak lale soğanları göz önüne alınırsa 8 sayısı bulunur. Bu soğanların ayrıca krımızı olması da isteniyorsa P(K|E) ihtimali modellenmiş olur, bu ihtimalin sayısal değeri ise 5/8 olur.
Bağımsız olaylar (Independent events) : Bazı olay çiftleri için birinin olması diğerinin olmasını değiştirirse bu iki olay bağımsız olaylardır, değiştirirse bağımlı olaylardır.
A ve B olayları
sadece ve sadece
A ve B bağımsız ise A' ve B' de , A' ve B de, A ve B' de birbirinden bağımsızdır.
A,B,C olaylarının
birbirinden bağımsız olması için
olması
gerekir.
Örnek: Bir kutuda, 1,2,3,4 olarak numaralandırılmış 4 top var. 1 top, rastgele seçiliyor A= {1,2} , B={1,3}, C={1,4} olsun. P(A)=P(B)=P(C)=1/2 olur.
ve dolayısıyla bağımsızlık koşulunu sağlarlar. Ancak
dolayısıyla A,B,C olayları bağımlı olaylardır.
Örnek:
Bir bozuk paranın 2 kere atılması sonucunda 3 olay tanımlansın. Bunlardan A, ikinci atışta yazı gelme olasılığı, B, ilk atışta tura gelme olasılığı ve C, hep yazı gelme olasılığı olsun. Bu olayların bağımlı mı, bağımsız mı olduğunu bulalım.
Örnek uzayımız S = {TT, TY, YT, YY} olarak tanımlanır. Olaylar sırasıyla:
A = {TY, YY}
B = {TY, TT}
C = {YY} olurlar.
Yukarıdaki olaylarda A olayının olma olasılığı 2/4 = ½ dir (örnek uzayda kapladığı alan)
C olayının olmasından sonra A olayının olma olasılığı P(A|C) = 1 dir. Çünkü A olayı C olayını kapsar.
B olayının olmasından sonra A olayının
olma olasılığı ise
Dikkat edilirse B olayından sonra A olayının ilk olasılık değeri olan ½ değişmemiştir, dolayısıyla B ile A olayları bağımsız olayladır. Ancak C olayından sonra ilk değeri ½ olan A olayının olasılık değeri 1 olmuş ve C olayından etkilenmiştir. Bu durumda A ile C olayları bağımlı olayladır denilebilir.
Çarpım kuralı:
Toplam olasılık kuralı: S
kümesinin n tane alt kümesi olması durumunda,
Partition U = [A1,A2,...An] olur. Burada U , S'in bir bölümlendirmesi olmak üzere , B'de rasgele seçilmiş bir olaysa P(B) = P(B|A1).P(A1)+P(B|A2).P(A2)...+P(B|An).P(An) olur.
Ispatı: Ai, Aj mutually exclusive iki olay olsun. BAi ve BAj karşılıklı birbirini dışlayan olaylardır. P(BS)=P(BA1).P(BA2)...P(BAn)
Örnek:
iki kişi sırasıyla zar atıyorlar, büyük zar atan kazanıyor. 1 kişinin 10 kere üst üste kazanma ihtimali nedir?
1. kişinin attığı zar analiz edilirse toplam kuralına uygun bir şekilde soru çözülebilir. Buna göre:
1 atarsa P(B) = 0 dır. Çünkü kazanamaz.
2 atarsa P(B) = 1/6 * 1/6 = 1/36 dır. (2. kişinin 1 atması durumunda (1/6 ihtimalle) kazanır, 2 atması ihtimali de 1/6 dır)
3 atarsa P(B) = 1/6 * 2/6 = 2/36
...
6 atarsa P(B) = 1/6 * 5/6 = 5/36 olarak hesaplanır.
Toplam kuralı uygulanırsa 1/36 + 2/36 + ... + 5/36 = 5/12 olarak bulunur.
Soruda 10 kere üst üste
kazanma ihtimali istendiği için sonuç
Koşullu olasılık tanımı
halini
alır dolayısıyla P(BAi) = P(B|Ai).P(Ai) olur.
P(B)= P(B|A1).P(A1)+ ... + P(B|An).P(An) olur.
Bayes Teoremi :
bu
eşitlik bayes theorem'idir.
Örnek Yay üreten 3 Makine için aşağıdaki hata ve üretim oranları veriliyor:
|
Bozuk Yay oranı |
İmalattaki oranı |
I. Makine |
%2 |
%35 |
II. Makine |
%1 |
%25 |
III. Makine |
%3 |
%40 |
Üretilen yaylardan rasgele birisi seçildiğinde bozuk olma olasılığı: P(B)=P(I)P(B|I)+P(II)P(B|II)+P(III)P(B|III),
olarak
hesaplanır.
Eğer yay bozuk çıktıysa bunun 3. makineden çıkma olasılığı aşağıdaki şekilde hesaplanır:
Örnek:
Bütün nufusta yapılan bir hastalık testinde (+) pozitif sonucun doğru bilinme olasılığı 0.99 ve (-) negatif sonucun doğru bilinme olasılığı 0.95 olarak veriliyor. Hastalığın bütün nufusta görülme olasılığı ise 0.0001 ise test sonucu pozitif çıkan bir kişinin hasta olma olasılığı nedir?
D olayı kişinin hasta olma olasılığı olsun
D' olayı kişinin hasta olmama olasılığını göstermiş olur.
Buna göre P(D) = 0.0001 olur
S olayı ise testin (+) çıkma olasılığı olsun.
S' olayı testin (-) çıkma olasılığını göstermiş olur.
Buna göre P(S'|D') = 0.95 olduğuna göre P(S|D') = 0.05 olur.
Soruda istenen durum P(D|S) ile gösterilebilir ve şartlı ihtimal hesabından
ancak
burada
Dolayısıyla
bayes teoremini uygulamayı deneyebiliriz. Buna göre
olarak
bulunur. S olayı için iki ihtimal bulunduğundan ( test sonucu
ya (+) ya da (-) çıkabilir) olasılık modeli aşağıdaki şekilde
olur:
olur.
Sonuç ise
olarak bulunur.
Ayrık Tip Dağılımlar (discrete Distribution )
Ragelen değişken: Rasgele deneyin her bir sonucuna reel bir değer atayan bir fonksiyondur.
s, S örnek uzayınının bir elemanıdır.
X(s) = x,
X'in uzayı, = {}
olarak gösterilir.
R uzayı, sonlu sayıdaki pozitif tam sayılardan oluşmuşsa R ayrık bir örnektir. X de ayrık tipte rasgele değişken olmuş olur.
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (Probability Dense Function PDF)
P(X=x) = f(x) olarak gösterilir. Özellikleri:
a f(x) > 0 ,
b
c P(x = A) =
Örnek:
1 derse 50 öğrenci devam ediyor bu öğrencilerde 11 kişi 1. sınıf, 19 kişi 2. sınıf, 14 kişi 3. sınıf ve 6 kişi 4. sınıftan. Rasgele öğrenci seçiliyor, yoğunluk dağılım fonksiyonunu bulunuz.
X'in alabileceği değerler X= 1,2,3,4 olur ve x'in olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f(1) = P(x=1) = 11/50
f(2) = P(x=2) = 19/50
f(3) = P(x=3) = 14/50
f(4) = P(x=4) = 6/50
olasılık
yoğunluk fonksiyonunun çizgi grafik ile gösteirmi
yukarıdaki şekildedir.
Olasılık
yoğunluk fonksiyonunun histogram grafiği ise yukarıda gösterildiği
şekildedir.
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (cumulative distribution function cdf)
dağılım fnonksiyonlarında X=x için f(x) = P(X=x) olarak tanımlanmıştı, kümülatif değeri ise
X<= x yani f(x) = P(X<=x) olan fonksiyondur ve F(x) olarak gösterilir.
Örneğin X=1,2,3 için F(x) = X/6 olarak tanımlı olsun. Buna göre
P(X<=1) = f(1) = 1/6
P(X<=2) = f(1) + F(2) = 1/6 + 2/6 = ½ olacaktır dağılım grafikleri ise aşağıda verilmiştir.
Ayrıca p(x <= 3/2) değerinin de tanımlı olduğunu ve bu değer için de 1/6 sonucunu alacağımızı düşünürsek aşağıdaki grafik de doğru olur:
Örnek :
4 yüzlü zar 2 defa atılıyor.
X iki sonucun toplamı olur.
X'in alabileceği değerler 2,3,..8
X'in olasılık yoğunluk fonksiyonu
olarak
verilmiş olsun. Ve zar 1000 kere atılıyor olsun
Örnek olarak f(2) = 1/16 + f(3) = 2/16 ... f(8) = 1/16 bulunur.
X |
X'in gözlem sayısı |
X'in bağıl frekansı |
X=x'in olasılığı |
Kümülatif bağıl frekans |
Kümülatif Olasılık F(x) |
2 |
71 |
0.071 |
0.0625 |
0.071 |
0.0625 |
3 |
124 |
0.124 |
0.125 |
0.195 |
0.1875 |
4 |
194 |
0.194 |
0.1875 |
0.389 |
0.375 |
5 |
258 |
0.258 |
0.25 |
0.647 |
0.625 |
6 |
177 |
0.177 |
0.1875 |
0.824 |
0.8125 |
7 |
122 |
0.122 |
0.125 |
0.946 |
0.9375 |
8 |
54 |
0.054 |
0.0625 |
1 |
1 |
Nümerik Beklendik Değer (Numerical Expected Value)
P, tek deneydeki başarı sayısı olsun.
k, deneylerin tekrar sayısı olsun
k deney için beklenen nümerik başarı sayısı : pk olarak hesaplanır
Matematiksel Beklenilen Değer (Mathematical Expected Value)
Ortaya konulan bir ödül için belirli bir başarı oranıyla, olayın beklenen maliyetini hesaplamada kullanılır.
Örneğin
a ödül miktarı için
p başarı ihtimaliyle
E = a.p olarak hesaplanır.
Örnek:
500 biletlik bir çekilişte, 325 ytl ödül bulunsun, bilet parasının beklenen değeri nedir?
E = 325 x 1/500 = 0.65ytl maliyet değerine sahiptir.
Matematiksel beklendik değer ,
benzer şekilde u(x) fonksiyonu için
Örnek:
Bir zar oyununda, 1,2,3 sayıları gelmesi durumunda oyuncu 1 ytl, 4 veya 5 gelmesi durumunda 5ytl ve 6 gelmesi durumunda 35 ytl ödül kazanıyor. Buna göre zar atmanın maliyeti oyuncu için kaç ytl'dir?
A= {1,2,3} -> 1ytl
B= {4,5} -> 5ytl
C= {6} -> 35ytl
E[u(x)] = 3/6 + 5.2/6 + 35. 1/6 = 8ytl olarak hesaplanır.
u(x) de kendi başına bir rasgele değişkendir. Bu rasgele değişkene Y diyelim ve Y'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu g(Y) olsun. Buna göre
E(Y) =
olur
Beklenen değer hesaplamada kolaylık sağlayacak bağlantılar:
E[c] = c (sabit değer için)
E[c u(x)] = c E[u(x)]
Varyans
Ortalamanın yayılmasının ölçülmesidir.
Standart Sapma
Bernoulli Denemeleri ve Binom Dağılımı
Örneğin yazı – tura deneyinde : X rasgele değişken, ve tura başarı olsun.
x(y) = 0 , q ve x(t) = 1 , q olarak kabul edilirse
p{ x = 1 } = p ve p { x = 0 } = q = 1 – p olarak yazılabilir
X, başarılı ve başarısız değerlerini alıyorsa Bernolli dağalımına sahip denilir.
P, denemeden denemeye sabit kalana kadar deney tekrar edilir ve donuçta “Bernoulli denemeleri dizisi” oluyor.
Örnek: Bir kutuda 10 kırmızı , 20 beyaz top var. Kutuya geri konarak, her seferinde 1 top olmak üzere 5 top çekiliyor.
Bu örnekte yerine konularak çekildiği için, bağımsız olaylar incelenmiştir. 5 top çekilmesi işlemi, 5 bernoulli denemesi olur.
Örneğin kırmızı başarı olursa, p = 1/3 ile 5 tane bernoulli denemesi mevcut denilir.
Bernoulli olasılık yoğunluk fonksiyonu:
Bir bernoulli denemesiyle ilgili X ragele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:
olarak
hesaplanabilir. Burada p başarı, (1-p) başarısızlık olur.
Bernoulli beklendik değeri:
Bernoulli varyans hesabı:
olarak
hesaplanabilr.
Binom rasgele değişkeni:
Bernoulli denemelir dizisinde başarılı
sunuçlarının sayısı Y olsun. Deney n kere tekrarlanıyorsa
olarak
hesaplanabilir buna kartezyen uzay da denilir.
N denemedeki k başarının oluşma sayısı
bu
yolların her birinin olasıllığını yazarsak:
denkleminde,
(1-p) başarısızlık oranı n-k ise başarısızlık sayısını verir.
P{y=k}
burada Y , binom rasgele değişkeni olur.
Binom dağalımı olasılık yoğunluk fonksiyonu :
olarak
hesaplanır.
b(n,p) = binom dağalımını gösterir, n ve p dağalımın parametreleridir ve n deney sayısını p ise başarının ihtimalini verir.
Örneğin, Y'nin b(12,1/4) olduğu bir dağalımda 12 deneme yapılırsa ¼ oranında başarı vardır deniilir, 12 denemeden 3'ü başarılı olur denilemez.
Örnek:
bir kutudan çekilen, 10 civcivden 6 dişi bulma olasılığı nedir?
P(dişi) = 0.5 olduğu a priori, (önceki bilgi) olarak biliniyor. Buna göre:
olarak
yazılabilir. Dikkat edilirse, eşitliğin ilk tarafında olaslık dağalım
fonksiyonu hesaplanmış ve 6 civciv çekilme ve 0.5 olasılığında
hesaplanmıştır. Buna göre eşitliğin ilk tarafının sayısal
değeri: 210 (dizilim olaslığı) x 0.015615 (dişi gelme olasılığı) x
0.0625 (erkek geleme olasılığı) = 0.2051 olarak hesaplanır.
Eşitliğin ikinci kısmı ise toplamsal olaslık dağalım fonksiyonu (cumulative probability function) hesabı yapılmıştır. Eşitliğin ikinci kısmının hesabında binom dağalımı tablosundan hesap yapılabilir buna göre p(x<=6) değeri tablodan 0.8281 ve p(x<=5) değeri 0.6230 olarak okunur ve yukarıdaki denklemin değeri 0.2051 olarak hesaplanır.
En az 6 civciv'in dişi olma olasılığı sorulmuş olsaydı cumulative probability distribution function formülünden:
Yukarıdaki ilk toplamsal kısım eşitliğin 2. kısmında görülen değer olarak da yazılabilir, ister ilk eşitlikten hesaplanarak ister ikinci eşitlikten tablo değerinden hesap yapılabilir.
Excepted value (beklenen değer) aynı zamanda ortalama değeridir.
Standart sapma değeri:
Örneğin, 2 değerli bir deneyin
standart sapma değeri:şeklinde
yazılabilir. O halde genel hali:
olarak
yazılabilir
dağılımın grafiği aşağıdaki şekilde çizilebilir
Örnek:
Uzun zaman yapılan gözlem sonucunda 10 parçanın 1'inin bozuk olduğu görülmüş. 5 parça seçilmiş, bozukların sayısı y olsun y = b(5,01) olarak gösterilebilir.
E(y) = np = 5(0.1) = 0.5 olur
olarak
hesaplanır.
Şayet, en az 1 bozuk olma ihtimali sorulsaydı:
olarak
hesaplanır (toplamın ilk kısmı p(y=0) ve ikinci kısmı p(y=1)
ihtimallerini toplamıdır)
Geometrik binom dağılımı (Geometric Binomial Distribution):
Bernoulli denemelerinin sayısını önceden sabit tutmayıp r tane başarı oluşana kadar devam dersek bu dağılımlara geometrik dağılım denilir. Bu dağılımda x , yani ilgilenilen rasgele değişken, başarı elde edilmesinden önceki başarısılıkların sayısıdır.
Örneğin F,F,F,S sonuçları
elde edilmiş olsun, ve başarı S, başarısızlıklar ise F ile
gösterilsin. X= 3 olmuş olur ve
olarak
hesaplanabilir.
Geometrik binom dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f(x) =
durumunda
X'in geometrik dağılıma sahip olduğu söylenir.
benzer şekilde
o halde Y= X+1 olarak kabul edilirse:
Örnek
Biyoloji öğrencileri meve kurtları üzerinde deney yapıyorlar ve ¼ olasılıkla beyz, ¾ olasılıkla kırmızı gözlü olduklarını buluyorlar.
Rasgele alınan 1 beyaz kurttan önce, 3 kırmızı kurt gelme olasılığı nedir?
Olarak
hesaplanır.
1 beyaz gözlü'den önce en çok 4 kurdun gözlenmesi ihtimali sorulsaydı
Y= X+1 için
Geometrik dağılımda E(X)= q/p ve
Y= X+1 için E(Y) = 1/p = 3 olarak hesaplanabilir.
Örnek :
n tamasının rasgele sıralanması tekrarsız olarak isteniyor. Zar atma olayı için bu durumu sağlayan kaç atış yapılmalıdır?
Soruyu daha iyi anlamak için n=6 ve ilk atış rasgele ilk sonucu verir. 2. sonuç için 6 olası sonuçtan sadece 5'i kalmıştır.
Benzer şekilde k-1 pozisyon doduktan sonra k. pozisyon için adayların sayısı n-k+1 'dir.
Olmuş
olur.
O halde zar için gerekli
atışların sayısı
beklenen atış sayısı ise
dikkat
edilirse, Beklenen değer hesaplanırken, toplam işlemi, beklenen
değerlerin toplamıdır. Bu dönüşümden, eşitliklerden 3.
denklem elde edilebilir. Eşitliklerden 4. sayısal değer ise her
seferinde olasılığın 1 azalmasından dolayı paydanın küçülmesi
şeklinde açıklanabilir.
Negatif binom dağılımı (Negative Binomial Distribution):
Şimdi dağılımın genel tanımına geri dönüp, r başarılı deneme durumuna bakalım (şimdiye kadar hep ilk başarı durumu incelenmiştir.)
bu durumda toplam atış sayısı x+r (başarılı ve başarısız atışların toplamı) olacaktır.
r. başarılı duruma kadar olan ihtimal hesabı:
olarak
yazılabilir.Eşitliğin ilk kısmı r. başarıya kadar olan denemelerin
dizilimini kombinasyonla hesaplarken ikinci kısım başarısızlıkların
dizilimini olasılıkla hesaplar ve kombinasyonun tanımından bu iki
sayının biribirine eşit olduğu hatırlanabilir.
r. başarının ihtimali p olarak tanımdan gelmektedir. Bu durumda r. başarı ihtimali iki denklemin çarpımı olarak hesaplanır:
bu
değer, r. başarının (negatif binom dağılımının) olasılık yoğunluk
fonksiyonudur.
Bu dağılıma Pólya veya Pascal dağılımı isimleri de verilir. Negatif denilmesinin sebebi n denemedeki başarısızlıkların sayısını vermesidir. Ve kesin olarak hesaplanamaz, yaklaşık değerdir:
Negatif binom dağılımının beklenen değeri:
bu
durumda
her
bir değer için
Negatif binom dağılımının standart sapma değeri:
bu
değer:
olur
Örnek:
meyva kurtlarını hatırlayacak olursak (¼ oranında beyaz kurt oluyordu) 3. beyazdan önce 10 tane kırmızı gözlü kurt olasılığı nedir?
Başarısız sayısı 10 ve başarılı sayısı 2 olması isteniyor. Formülden değeri aşağıdaki şekilde hesaplanır:
olarak
hesaplanır.
Soruda 3. beyaz gözlüyü gözleyene kadar en fazla 12 kurt kontrol edilme olasılığı sorulsaydı
Örnek :
Bir makinanın bozuk parça üretme olasılığı 0.01 , her parça üretildikten sonra kontrol ediliyor. 1 tane bozuk parça için en az 100 parçanın kontrol edilmesi olasılığı nedir?
Olarak
bulunur.
Poisson Dağılımı:
X, rasgele değişkeni için
E[x]
beklendik değeri
dir
Yukarıdaki
şekilde poisson dağalımının grafiği verilmiştir.
Örnek olarak X,
=
5 ortalama değeri ile poison dağalımına sahip ise P(X=3) değerini
hesaplayalım.
Örnek 3 dakikada 2 çağrı gelen bir çağrı merkezinde 9 dakikada 5 veya daha fazla çağrı yapılma olasılığı nedir?
Binom değerinin Poisson ile hesaplanması
Poison ile Binom dağalımındaki yaklaşık
değerler de hesaplabilir bunun için poisson dağalımında
olasılık değeri yerine
değerini
koyarak hesaplayalım:
bu alternatif çözüm, n>100 ve np < 10 gibi sayılar için oldukça başarılı çalışırken, düşük olasılık değerlerinde kötü sonuçlar vermektedir.
Örnek Bir lamba üreticisi, ürettiği lambaların %2'sinin bozuk olduğunu biliyor, bu lambalardan 100 tane bulunan bir kutuda en fazla 3 tane bozuk lamba bulunma olasılığı nedir?
Bu soruyu binom veya poisson dağalımı kullanarak çözebiliriz. Binom dağalımı ile:
aynı soruyu Poisson ile çözersek:
bulunur,
dikkat edilirse iki yöntemin sonuçları oldukça
yakındır.
Dağılımların Momenti
Ham moment = mesafe x büyüklük
İstatistikte ise rasgele bir değişkenin kuvvetinin ortalama değeridir. P(x) dağılımının n. momenti = Mn' olarak gösterilir.
Merkezi moment Ortalama değere uzaklığın momentidir.
Moment denklemi kullanılarak bir dağılımın beklendik değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
bu hesaba bakmadan önce
olduğunu
hatırlayalım.
Merkezi moment formülündenolarak
hesaplanabilir.
Ham moment formülünden
merkezi moment formülü, ham moment formülüyle yeniden düzenlenirse
olarak yazılabilir.
Mutlak moment
Genellenmiş moment
Moment Oluşturma Fonksiyonu
X'in diğer momentlerini hesaplamak için t gibi bir reel değişken ve bir reeel değişkenin fonksiyonu tanımlanır.
X, R uzayıyla tanımla ayrık tip rasgele
değişken
ve
-h < t <h ve h>0 koşullarını sağlayan böyle bir
fonksiyon bulunabiliyorsa, moment oluşma fonksiyonu oluştu
diyebiliriz.
Türevin limit teoremindeki tanımını hatırlayacak olursak
,dir.
M(t)'nin oluşması t=0'da M(t)'nin türevlerinin de oluşması demektir.
yukarıdaki eşitliklerde t=0 için aşağıdaki beklendik değerlere ulaşılabilir:
O halde moment oluşma fonksinyonunu bulabilirsek momentin oluşması kolaylaşıyor.
Çıkarım yapılırsa:
Örnek: .X rasgele değişkeni
için,
,
x = 1,2,3...olarak verilsin
moment oluşturma fonksiyonunu kullanırsak:
olarak
yazılabilir.Eşitliğin ikinci kısmı geometrik seridir. Geometrik
serileri hatırlayacak olursak:
olarak
açılabilir. Şimdi moment fonksiyonumuzu geometrik seri olarak
açalım:
serinin
dönüşümü için
denkleminde,
moment oluşturma fonksiyonundan hatırlanacağı üzere h oluşmuş
oluyor.
Türev alınacak olursaolur
ve sonuçta
Örnek x, rasgele değişkeni b(n,p) ile binom dağılımına sahip olsun, bu dağalımın beklendik değerini ve ortalama değerini moment fonksiyonu ile bulalım:
binom dağılımının fonksiyonunu
hatırlarsak:
'dir.
denklemi
açılımı
şeklinde düşünülürse
şeklinde
yazılabilir.
Şeklinde
moment fonksiyonunun türevi alınırsa
olarak
ortalama değeri bulunmuş olur.
Beklendik değer için ikinci türevin alınması gerekir:
olarak bulunur.
Örnek Bernoulli dağılımı
için
beklendik
ve ortalama değerleri hesaplayalım.
olarak
bulunur.
Moment fonksiyonunun en önemli özelliği, dağılımı tayin etmesidir. X[b1,b2,...] ile f(x) olası yoğunluk fonksiyonuna sahipse
Örnek: aşağıda verilen moment fonksiyonuna sahip dağılımın beklendik değer ve standart sapma değerlerini bulunuz.
çözüm için, Mc Laurin serisi yardımı ile aşağıdaki açılımlar her terim için ayrı ayrı yazılabilir:
yukarıdaki terimler taraf tarafa toplanırsa
olarak bulunur, burada r. terimin katsayısı:
olarak
formülüze edilebilir. Dolayısıyla beklendik değer:
olur
bu durumda
olarak
bulunur.
Ayrık Tip çok Değişkenli Dağılımlar
X,Y bir ayrık olasılık uzayında tanımlı iki fonksiyon olsun (R iki boyutlu bir uzay)
P(X=x,Y=y) olasılığı f(x,y) ile gösterilir ve X ve Y'nin birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu (Joint Probability Dense Function) olarak adlandırılır.
f(x,y)'nin sahip olması gereken özellikler:
0<= f(x,y) <= 1
Örnek:
Bir zar 2 defa atılıyor. 36 olası sonuç var her ikili için x, küçük y ise büyük zarı göstersin.
x<=y ise, f(x,y) yani x ve y'nin birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu nedir?
Olarak
bulunur.
Yukarıdaki denklemin de çıkartıldığı, olasılıkların grafikte gösterilmesi aşağıdaki şekilde olabilir:
yukarıdaki şekilde iki zarın atıldığında gerçekleşebilecek ihtimaller gösteirlmiştir. Buna göre (1,2) gelme ihtimali 1/36'dır çünkü ilk zarın 2 veya ikinci zarın 2 gelme ihtimali vardır. Buna karşılık, (1,1) ikilisinin gelme ihtimali tektir. Bu da yukarıdaki birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonunun nasıl bulunduğunu gösterir.
Aynı grafikte satır ve sütün toplamları alınacak olursa, aşağıdaki sayılar elde edilir.
Yukarıda
da görüldüğü üzere, satır ve sütünların
sayısal değerleri toplanarak kenarlarına yazılmıştır. Bu toplam
değerlerine Marjinal olasılıklar denilir (kenar kelimesi margin'den
geliyor) dolayısıyla örneğin 1. sütün için olan
11/36 toplamı, x değeri 1 ile sabitlendikten sonra y'nin alabileceği
1,2,3,4,5 ve 6 değerleri için elde edilecek olasılıkların
toplamını gösterir.
Olarak
ifade edilebilir ve bu bütün x değerleri için
birleşik yoğunluk fonksiyonunun alabileceği değerlerdir.
Bağımlılık (Dependence):
X, ile Y'nin bağımlı değişken olup olmadığı aşağıdaki şekilde kontrol edilir:
Yukarıdaki zar örneğine geri dönülecek olursa, f(x=1,y=2) = P (x=1,y=2) = f(x=1)f(y=2) olur ve eşitliğin sol tarafında birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonunun değeri 2/36 iken, eşitliğin sağ tarafındaki çarpımın değeri 1/6 x 1/6 'dan 1/26 olarak bulunur, bu durumda bu değişkenlerin bağımlı oldukları söylenebilir. Gerçekten de aralarında x<=y gibi bir bağ bulunması eşitliği bu hale sokmuştur.
Örnek:
X ve Y'nin birşelik olasılık yoğunluk
fonksiyonu
tanımlanıyor.
Buna göre olasılık yoğunluk
fonksiyonu hesaplanırsa
olarak
hesaplanır.
Bağımlılıkları test edilirse,
Şayet eşit çıksalardı, farklı oldukları bir örneğin olup olmadığı aranacaktı, bütün ihtimaller denendikten sonra, hiçbir ihtimal için eşitlik bozulmasaydı, bağımsız değişken, en az bir örnek için eşitlik bozulursa, bağımlı değişken olarak ifade edilirler.
İkiden fazla değişken için
ve
iki değişken için yazılan birleşik olasılık yoğunluk
fonksiyonunu sağlar. Buna göre fonksiyon
olur
ve burada k boyutlu bir uzaydan bahsedildiği unutulmamalıdır.
Bağımsızlık testi de benzer şekilde ayrı ayrı çarpımlardan bulunur.
Örnek:
Bir dersi alan 200 öğrenci olsun bu öğrencilerin notları aşağıdaki şekilde dağıtılmış ise:
x1= 40 kişi => A
x2= 60 kişi => B
x3= 70 kişi => C
x4= 20 kişi => D
x5= 10 kişi => F
rasgele 25 kişillik bir örnek alıyoruz, her bir olası örneğin olasılığı nedir (kaç değişik şekilde 25 kişi seçilebilir)?
Farklı
seçme olasılığımız vardır.
Olarak
yazılabilir.
O halde olasılık yoğunluk fonksiyonunu
hesaplarsak
olarak
yazılabilir ve burada x5 için bulunan eşitlik yerine konulursa
olarak bulunabilir.
Örnek olarak
'ün
marjinal yoğunluk fonksiyonunu hesaplayalım
olarak
hesaplanır. Şimdi iki değişkenin marjinal olasılık yoğunluk
fonksiyonunu hesaplarsak:
olarak
hesaplanır.
Hiper geometrik dağılımlar (hyper geometric distributions):
yukarıda verilen tek değişkenin marjinal yoğunluk fonksiyonu aslında bir hiper geometrik dağılımdır. Ve bu değeri veren marjinal yoğunluk fonksiyonuna hiper geometrik olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. Bağımsızlığın testi için, aynı kurallar geçerlidir.
Örnek
x ve y'nin bağımsız olasılık yoğunluk
fonksiyonu olarak
verilmiş olsun. Aşağıdaki denemeleri yapalım:
a) X'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım:
bu
eşitlikteki X=1 ve X=2 değerlerini ayrı ayrı hesaplarsak:
olarak
bulunur ve toplam 1'e eşittir. Yukarıdaki denemeden, olasılık
yoğunluk fonksiyonu için genel bir gösterim çıkarmak
istersek:
olarak
bulunur.
b) Y'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu hesaplanacak olursa:
bulunur
ve benzer şekilde y için bir modellemeye gidilirse
bulunur
c) P(x>y) olasılığına bakallım.
Sadece x=2 ve y=1 için mümkündür o halde
P(X=2,Y=1) olmuş olur. Denklemde yerine konulursa
d) P(y=2x) = P(x=1, y=2) + P (x=2,y=4) = 3/32 + 6/32 = 9/32 olarak bulunur
e) P(x+y=3) için x=1 ve y=2 veya x=2 ve y=1 ihtimalleri olabilir. Buna göre P(x=1,y=2) + P (x=2,y=1) = 3/32 + 3/32 = 6/32 bulunur.
f) P(x<= 3-y) için x=1 ve y=1 (2/32) veya x=1 ve y=2 (3/32) veya x=2 ve y=1 (3/32) bulunur bunların toplamı ise 8/32 yapar.
g) x ve y bağımsız mıdır?
f(x,y)= f(x)f(y) eşitliği test edilir buna göre
eşitliği
kontrol edilir ve eşit olmadığı için bağımlı oldukları
gösterilmiş olur.
Kovaryans (Covariance) ve Korelasyon (Correlation)
Kovaryans ve Korelasyon için en az iki değişken gereklidir. Buna göre aşağıdaki girişten sonra bu terimleri tanımlayalım.
x1,x2,...xn ayrık tipte birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip rasgele değişkenlerimiz olsun. f(x1,x2,...xn) için u(x1,x2,...xn) ayrık tipte rasgele değişkenlerin bir fonksiyonu olsun. Ve bu fonksiyonun beklendik değerini yazmaya çalışalım.
Örnek:
Bir kutuda 8 tane top var. Bunlardan
3 tanesinin üzerinde (0,0)
2 tanesinin üzerinde (0,1)
2 tanesinin üzerinde (1,0)
1 tanesinin üzerinde (1,1) sayıları yazıyor. Bir oyuncu bu toplardan birisini seçiyor ve seçtiği topun üzerinde yazan sayıların toplamı kadar para kazanıyor. Buna göre oyuncunun oyun için ne kadar para vermesi beklenir?
1. koordinat X1 ile ve 2. koordinat olsun buna göre
olarak hesaplanabilir. Şayet birleşik
olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplayacak olursak
olarak
hesaplanır. Beklendik değer ise u fonksiyonunu kullanarak aşağıdaki
şekilde hesaplanabilir:
olur.
Bu birden fazla değişkene sahip u fonksiyonu için Ortalama değer, Varyans , Kovaryans ve Korelasyon değerlerini formülize edelim:
Ortalama Değer
olsun.
Beklendik değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
olur.
Varyans:
olarak
bulunur.
Kovaryans (Covariance):
olarak adlandırılır. Ve
olarak
gösterilir. Bu değer, iki değişkenin ortalamalarına göre
birlikte ne kadar değiştiklerini gösterir.
Olarak
çarpımı dağıtabiliriz.
Olduğu
hatırlanırsa kovaryans değeri
olarak
yazılabilir.
Kovaryans, pozitifse değişkenlerden ikisi de ortalamnın aynı yönünde yer alıyor demektir (ikisi de eksi veya ikisi de artı). Şayet kovaryans, eksi değer alıyorsa, değişkenler farklı yönlerde demektir. Eğer iki değişken bağımsızsa kovaryansları 0'dır. Ispatı şu şekilde yapılabilir:
koşulu
sağlanıyorsa bağımsızdırlar.
Korelasyon Katsayısı (Correlation Coefficient)
Eğer
standart
sapmaları pozitif ise
olacaktır
daha önceki notlara bakılırsa
olduğu
hatırlanır. Bu bilgiler ışığında bu eşitlik yeniden düzenlenirse
olarak
da yazılabilir.
Burada korelasyon katsayısı için
olmalıdır
ve – değerler için kovaryansa benzer şekilde ters yön,
+ değerler için ise kovaryansa benzer şekilde aynı yön
olduklarını çıkarabiliriz. Kovaryansa benzer şekilde bağımsız
değişkenler için korelasyon 0 çıkar ancak değeri 0
çıkarsa bağımsız değişkenlerdir diyemeyiz (linear olarak
bağımsızdırlar diyebiliriz) örneğin
için
korrelasyon değeri 0 çıkar ama bağımlı değişkenlerdir.
Dolayısıyla, korolasyon birbirlerine bağlılıklarını , Kovariance ise ortalama değerlerin ne kadar saptığını gösterir.
Korelasyon kullanarak beklendik değer hesaplanması:
olduğunu
hatırlayalım, şimdi covaryans bilgisinin beklendik değer cinsinden
yazalım.
Olarak
yazılabilir.
Koşullu Dağalımlar (Conditional Distributions)
g fonksiyonuna sahip bir ayrık (discrete) X olduğunu düşünelim. Bu durumda S (Örnek Uzay ( Sample Space)) sayılabilirdir ve g(x) > 0 olduğunu düşünebiliriz. Bu durumda
olacağını
daha önce görmüştük. Şimdi bu durumun koşullu
olasılık yoğunluk fonksiyonunu görelim (conditional probability
density function)
T kümesinde değerler alan Y gibi bir rasgele değişkenin olduğunu düşünelim. Bu durumda (X,Y) değişken ikilisi, SxT çarpımı içinde değerler almaktadır. (X,Y)'nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonunun (joint probability density function) f olduğunu düşünelim. Bu durumda koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu:
olarak
yazılabilir.
X=x durumu verildiğinde, Y'nin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu, aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
olarka
gösterilebilir.
Koşullu dağalımların bağımsızlığı (Independence of Conditional Distribution)
X ve Y değişkenleri aşağıdaki iki koşul için de bağımsızdır denilebilir.
Örnek:
İki adil zar'ın atıldığını ve (X1,X2) sonuçları alındığını kabul edelim. Buna göre U = min {X1,X2} ve V= max {X1,X2} olsun.
a. U verilmişken
V=v için koşullu yoğunluğunu hesaplayınız
b. V verilmişken
U=u için koşullu yoğunluğunu hesaplayınız
Cevap:
Aynı
sorunun bir de para atarak yapıldığını düşünelim. N, zar
sonucunu Y ise para sonucunu tutsun, buna göre :
a. (N,Y) için birleşik yoğunluğu bulunuz.
b. Y'nin yoğunluğunu bulunuz.
c. N'in Y=k için
yoğunluğunu bulunuz
Çözüm:
a ve b şıklarının çözümü ilk tabloda, c şıkkının çözümü ikinci tabloda gösteirlmiştir.
Koşullu Beklendik Değerler (Conditional Expected Value)
X=x verilmişse Y'nin koşullu ortalama değeri:
olur.
Koşullu varyans (Conditional Variance)
X=x verildiğinde Y'nin koşullu varyansı
Sürekli tip rasgele değişkenler
Uzayları, aralıklar veya aralıkların birleşimleri olan rasgele değişkenler sürekli tip olarak adlandırılır.
h(x) bağıl frekans histogramı olsun (sürekli tip değişkenin n defa gözlenmesi ile ilgili )
olasılığının
biçilmiş değerini verir. Bu olasılık, x'in a ile b arasında
olma olasılığıdır.
n sınırsız arttırırlırsa, (yeterince büyük olduğunda) h(x), f(x)'e (olasılık yoğunluk fonksiyonuna) yaklaşır.
Bu olasılığın grafiksel gösterimi aşağıda çizilmiştir:
n,
sonsuza yaklaşırken, f(x) ile x arasında kalan alan 1'e eşittir.
f(x) sürekli tip x rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu özelliklere sahiptir:
f(x) > o
Örnek:
R= { X: 0<x<inf} uzayı ile X
rasgele değişkeni bir elektron tüpünün ömrü
olsun.
Diye
verilmiş, ve
Buan göre Elektron tüpünün ömrünün 100 saatten fazla olma olasılığı nedir?
Sürekli tip değişkenlerde dağalım fonksiyonu (Cumulative distribution function)
olur.
P(x=a)=0 , bütün reel a değerleri için.
P(a<x<b) = P(x<b) – P(x<a)
Ayrık tip değişkenlerde f(x)= P(X=x) sınırıdır.
Sürekli tip değişkenlerde f(x) sınırlı olmak zorunda değildir. f(x), sürekli olmak zorunda da değildir.
Örnek fonksiyonlar aşağıda gösterilmiştir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde olabilir:
Bu
olasılık yoğunluk fonksiyonunun cumulative dağılım fonksiyonu
aşağıdaki şekildedir:
Dikkat
edilirse, ilk grafik, ikinci grafiğin türevidir.
Matematiksel Beklendik Değer:
X'in beklnedik veya ortalama değeri
X'in varyansı
standart sapması da
olarak
hesaplanır.
Eğer oluşursa moment türetme fonksiyonu
Uniform Dağalımlar (Uniform Distributions)
x, [a,b] ve
aralığından
rasgele seçilen bir değişkeni göstersin. Bu aralıktan
seçilen noktanın olasılığı aralığın uzunluğuyla orantılıdır.
Ve
olarak
verilmektedir. X'in dağalım fonksiyonu
olarak
hesaplanabilir ve olasılık yoğunluk fonksiyonu
olarak
yazılabilir .Bu fonksiyonların grafiği aşağıdaki şekildedir.
Yine dikkat edilirse, ikinci grafiğin türevi ilk grafiktir.
Yukarıda tanımı yapılan dağalım, uniform dağalımdır ve U(a,b) şeklinde gösterilir.